几个月后，璩峰前来参加一个重要的未来计划会议。地点是国家会议中心C区三号厅，由科技委与中科院联合举办，会议邀请了各行各业的专家学者，共同研讨我国未来几十年的基础科学发展方向。崔教授发表了一场演讲，与其说是演讲，不如说是一场立项动员会。

今天我讲的课题是“维度灾难”。人类在高维数学领域、海量数据分析领域、机器学习领域等多个方向上遇到了理论瓶颈。这一问题已经在国际上引起了高度重视，我们需要尽快成立课题组，开展攻关性研究。整个课题涉及的范围极为广泛，可以说是史无前例的挑战。会后，我们将根据在座各位的研究方向，成立若干小组，各自进行未来数年乃至数十年的研究。这些领域都属于基础科研范畴，事关重大，希望大家给予足够的重视。国家已经在基础课题的研究上投入了大量资金，希望我们能够引领人类前沿科技的发展。

今天，我们齐聚一堂，共同探索宇宙的基本规则。在不久的将来，人类可能面临灾难，我们必须具备足够的科技实力来确保人类文明的延续与繁荣。

好了，还是那句话，我们每个人都肩负着重大的使命，这也是我们生命的意义和价值。我今天的演讲只是抛砖引玉，介绍一些基本概念，确定大体的研究方向，之后的工作就要看大家的努力了。

崔教授开始深入讲解维度的概念。

大家对“维度”的概念应该都很清楚。我们生活在一个三维空间中，这看似很直观，但在数学上给维度下一个明确的定义却异常困难。人类经过数百年的思想实验和富有想象力的比较，才逐渐形成了对维度的严格理解。让我先简单科普一下几项基本概念。

1.维度

相比普通人对三维空间的认知，数学家们更热衷于想象更多维度的思维训练和逻辑推演。比如，垂直于已知三维空间的“第四维度”是什么样子呢？在我们熟悉的三维宇宙中，如果有一个四维球穿过三维空间，这个四维球最初会以一个点的形式出现，随后变成一个实心球，直至达到完整的半径，最后逐渐缩小并消失。这种现象帮助我们对四维形状有了某种直观感知。

从直观上看，如果一个抽象空间有n个自由度，或者需要n个坐标来描述一个点的位置，那么这个空间就是n维的。然而，数学家们发现，维度远比这些简单的描述复杂得多。

2.超维

对高维空间的正式研究始于19世纪，随后相关研究迅速变得复杂起来。数学家们逐渐意识到，维度的定义并不如想象中那样简单。乔治·康托尔在1877年发现，线段中的点与正方形中的点（一维和二维）可以建立一一对应关系，这表明它们有相同的势。这一发现挑战了n维空间需要n个坐标来描述的直觉，因为n维立方体中的每个点都可以由一段区间中的一个数唯一标识。这意味着，高维立方体在某种意义上等同于一维线段。

然而，后来的研究证明，在不将物体分割成许多部分或允许物体与自身相交的情况下，高维物体无法完全嵌入较低维度的空间中。布劳威尔等人提出了严谨的定义：n维空间中的球体边界是n-1维的。尽管维度已被置于强大的数学基础之上，它仍无法帮助我们增强对高维空间的直观理解——毕竟，我们都是对自己所在维度偏爱有加的奴隶。

3.分数维

维度的研究并没有随着布劳威尔的发现而终止。几年后，费利克斯·豪斯多夫提出了一个新的维度定义，这对现代数学产生了至关重要的影响。比如在研究如何测量海岸线长度时，发现海岸线的长度取决于测量尺的大小。这种不规则的形状无法用任何尺精确测量，最终得出令人震惊的结论：物体可能具有非整数维度。为了描述这种复杂的形状，“分形”概念应运而生。

科赫曲线就是一个典型例子。虽然它不像皮亚诺曲线那样完全填满空间，但它既不是一维的线，也不是二维的面，而是1.26维。

4.维度灾难

如今，数学家们的研究经常涉及超越三维的额外物理维度。比如弦论要求的卷缩维度，几何学研究八维和二十四维的球体填充方式。而生物学、工程、金融和图像领域也常涉及非整数维度，尤其是“大数据”时代，高维度数据分析变得至关重要。

但高维空间带来了诸多挑战。随着维度增加，统计方法所需的样本点数量呈指数增长。此外，点在高维空间中形成聚类的可能性显著降低，这些问题统称为“维度灾难”。虽然我们很多工作并不涉及真实的物理维度，但解决这些理论和实践问题仍然至关重要。