“我们研究纳米材料中的二阶相变，这种相变存在尺度不变性。从中可以推出所有具有普适性的信息，包括临界指数。在二阶相变处，特征尺度趋于无穷大，导致的直接后果是系统具有尺度不变性。一个微小的液滴也包含系统的全部性质。这个和分形是很类似的。”

璩峰说到这，剑平打断了他的话，插了一嘴：“是的，我们后续就应该朝着分形理论方向研究，寻找跨界（从宏观—介观—微观—渺观）自相似性。打个比方说，二阶相变的系统就是用放大镜看也不会损失信息的系统！他不想一个JPG图像在不断放大后就只剩下马赛克，这个马赛克就是特征尺度。而临界系统没有这样的尺度。”

剑平停顿了一下接着说：“除了尺度不变性之外，在高阶相变系统中还存在‘共形变换’，再打个比方，空间中每一点都有一个不同的放大倍率。有的地方变大得多，有的地方变大得少。但放大或缩小过程中不会扭曲产生畸变，即放大前后任何两条曲线的交角是不变的。这些理论知识你可以学习李代数等内容，以后再说。说得有点远了，我们还是回到你的论文上，你先自己说说你对高阶相变关联函数的理解。”

“二阶相变的尺度不变性相变产生于一个微观系统在正则系统下的涨落。所谓涨落，可以理解为微观系统的状态满足概率分布（玻尔兹曼分布）。每一时刻系统都以一定概率处在某一状态下，而热力学量的统计平均值是稳定状态表征。在这个统计系统下，如果给定一个粒子的某个物理信息，那么我们也可以同时得到另一个粒子的物理信息的概率分布。量子纠缠与此类似。大体来说，给定两个粒子的某个物理性质，他们的关联强度由关联函数决定。关联性随着距离递减。这是很容易理解的，因为粒子隔得越远相互作用就越小。关联函数通常是随距离指数下降，这时候系统就有一个特征尺度，在这个距离下关联函数下降达到Δmax的这个尺度称为关联长度。在一阶相变附近，关联长度通常和微观的原子与分子尺度差不多。但在二阶相变附近，关联长度是宏观的，关联函数是多项式下降的长程关联。”璩峰舒了一口气接着说。

“我们的研究是对更高阶相变的长程关联，描述过程都是非线性的，复杂度提高了不少，曾尝试过降维处理，或者线性化表征，但都跟韩医生那儿的实验数据不符，后来转变思路，对关联函数做了维度拓展，并将实验数据映射到高维中，发现一些结论，在高维空间中数据变得线性可分，而关联函数也有类似的变化。不过，还是有些问题待解决，目前就卡在这个瓶颈中，很难突破。”璩峰说完自己的论文情况。

“没事，你虽然是在高维空间中分析了，但还是没有普适性结论，你可以从论文中的方程推导，下一步尝试用分数维描述长程关联，也就是分数维特征提取。”剑平给了璩峰很重要的提示。正当这时，璩峰的电话响了，是李子木打来的，如今她已经是他的妻子。

剑平也站了起来，看了看窗外，经过一个下午的交流后，他似乎对自己未来的宏伟目标又有了可以期许的信念。阳光已经彻底消失在窗帘后面，外面的风趁此猖狂了起来，虽站在温暖的屋里，却能感受到外面的一丝冷意。

时候不早了，马路上亮灯了，璩峰被催着回家吃饭。他邀请剑平一起：“领导，子木在电话那边催呢，她请你一起去尝尝她的新厨艺，走，一起去吧，顺便在我那喝两盅。”

“我还有事，不去了。”剑平拒绝了，然后摆手让璩峰快点走，“你自己早点回去吧，我就不打扰你们的二人世界，烛光晚餐。”

“什么烛光晚餐，指不定又拿我当小白鼠，你又不是不知道她做菜的手艺。那我走了，你也早点回去。”璩峰说完急忙离去。